t=1/μ

t = τ_2

t = τ_1

Orange : courbe représentant la solution homogène
u_H(t) en fonction de Q et de conditions initiales,
modifiables avec les curseurs.

La solution particulière est prise nulle. La pulsation propre
est prise égale à 2π.

Les courbes pointillées représentent les exponentielles
qui apparaissent dans la solution. Les droites verticales
indiquent les temps caractéristiques de ces exponentielles,
qui donnent l'ordre de grandeur de la durée du régime
transitoire.

dudt0 = 0 (slider from -20 to 20, step 0.5)
u0 = 2.85 (slider from -5 to 5, step 0.05)
Q = 3 (slider from 0 to 10, step 0.01)
ω_0 = 6.283185307179586 (slider from 1 to 10, step 0.05)
r_1: (-(ω_0 / ((2 * Q)))) + (ω_0 * sqrt(1 / ((4 * Q^(2))) - 1))
r_2: (-(ω_0 / ((2 * Q)))) - (ω_0 * sqrt(1 / ((4 * Q^(2))) - 1))
Bap: (dudt0 - (r_1 * u0)) / (r_2 - r_1)
Aap: ((r_2 * u0) - dudt0) / (r_2 - r_1)
Aper: u0
ω_p: (ω_0 * sqrt(1 - 1 / ((4 * Q^(2)))))
μ: ω_0 / ((2 * Q))
Bper: (dudt0 + (μ * u0)) / ω_p
M: (1 / μ, 0)
Env2(t) = ((-sqrt(Aper^(2) + Bper^(2))) * ℯ^(((-μ) * t)))
Env1(t) = (sqrt(Aper^(2) + Bper^(2)) * ℯ^(((-μ) * t)))
A_1: (1 / μ, Env1(1 / μ))
A_2: (1 / μ, Env2(1 / μ))
a = Line(A_2, M)
T_p: (2 * π / ω_p)
texte2 = LaTeX(T_p, true, true)
Exp1(t) = (Aap * ℯ^((r_1 * t)))
B_1: ((-1) / r_1, Exp1((-1) / r_1))
Exp2(t) = (Bap * ℯ^((r_2 * t)))
B_2: ((-1) / r_2, Exp2((-1) / r_2))
B'_1: ((-1) / r_1, 0)
B'_2: ((-1) / r_2, 0)
b2 = Line(B_2, B'_2)
b1 = Line(B_1, B'_1)
Acr: u0
Bcr: dudt0 + (ω_0 * u0)
u(t) = If[t > 0, If[Q > 0.5, (((Aper * cos((ω_p * t))) + (Bper * sin((ω_p * t)))) * ℯ^(((-μ) * t))), Q ≟ 0.5, ((Acr + (Bcr * t)) * ℯ^(((-ω_0) * t))), (Aap * ℯ^((r_1 * t))) + (Bap * ℯ^((r_2 * t)))], u0]